微分与积分的奥秘
本篇内容是对前一篇关于微积分知识的进一步探讨。在之前的文章中，我们已经对从微分到积分的转换过程有了初步的了解。而今天，我们将反向探索从积分到微分的转换过程，揭示它们之间的深刻联系。
对于任一可导的函数y=f(x)，在区间x∈[a，b]上，其差值f(b) - f(a)代表了曲线y=f(x)在Y轴上的一段投影长度。当我们把这一区间划分为无数个无限小的部分，每个部分记作△x，那么b-a就等于无数个△x的总和。
那么，我们可以这样思考：f(b) - f(a)实际上是由一系列的微小变化所组成。具体来说，它可以表示为：
f(b) - f(a) = [f(b) - f(b-△x)] + [f(b-△x) - f(b-2△x)] + ... + [f(a+2△x) - f(a+△x)] + [f(a+△x) - f(a)]
进一步观察上述等式，由于△x/△x等于1，我们可以得到：
f(b) - f(a) = [f(b) - f(b-△x)]/△x △x + ... + [f(a+2△x) - f(a+△x)]/△x △x + [f(a+△x) - f(a)]/△x △x
这进一步简化为：
f'(b)△x + f'(b-△x)△x + ... + f'(a+2△x)△x + f'(a+△x)△x
这里，我们看到了函数y=f(x)的导数f'(x)。我们将f'(b)~f'(a)记作f'(x)，于是得出了重要的等式：f(b) - f(a) = ∫f'(x)dx，其中x∈[a，b]。
现在，我们深入探究一下导数与原函数的关系。导数f'(x)是可以由原函数f(x)计算得出的，而原函数f(x)则是由导数f'(x)逆向推导得到的。为了在微积分计算中游刃有余地推导原函数f(x)，我们需要先做好准备工作：求出导数f'(x)。
接下来，我们将一起学习几个常见函数的求导过程。首先是常数函数的求导：(C)'=0。接着是比例函数y=ax+b的求导，其中a、b为实数：(ax)'=a。这也可以视为幂函数y=x^μ当μ=1时的特例。
对于指数函数y=a^x的求导，我们了解到当底数取自然常数e时，即a=e，其导数为(e^x)=e^x。这是因为lne等于1。
再来看幂函数y=x^μ的求导。我们可以先求一个μ为正整数时的特例。通过取极限的方法，当x趋近于某个值a时，我们可以求出y=x^μ在x=a处的导数。将a替换为x，我们得到(x^μ)'=μx^(μ-1)。虽然这里我们是通过类比推论得出的结论，但其在实际应用中仍然成立。不过需要注意的是，这个结论需要通过指数函数y=e^x和对数函数y=lnx的求导结果以及复合函数的求导方法进行证明。