三角形的内心是指内角平分线相交于同一点，这一特定的点被称作三角形的内心。这个交点同时也是该三角形内切圆的圆心。一个引人注目的特性是，三角形内心的每一点到三角形三边的距离都是相等的。
1. 三角形的内心到其三边的距离恒定，且等于内切圆的半径r。
2. ∠BIC的度数为90°加上∠BAC的一半。
3. 在直角三角形ABC中，其中∠A为90°，若内切圆在BC边上切于点D，那么S△ABC的面积等于BD乘以CD。
4. 关于三角形内角平分线定理的阐述：
在△ABC中，当内心I存在时，∠BAC、∠ABC和∠ACB的内角平分线分别与对应边BC、AC、AB交于Q、R、P点。这时，存在一种比例关系：BQ与QC的比例等于边c与边b的比例，BP与PA的比例等于边a与边b的比例，CR与RA的比例也等于边a与边c的比例。
5. 充分必要条件描述：
在平面ABC选一点O，若O是△ABC内心的充要条件是向量OI等于向量OA、向量OB和向量OC的加权平均值，权重分别为a、b和c，且权重之和为a+b+c。
6. 对于△ABC，若其顶点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则其内心的坐标I可计算得出。
7. 应用欧拉定理的表述：
在△ABC中，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r。外心O和内心I分别位于外接圆和内切圆上。根据欧拉定理，OI的平方等于R的平方减去两倍的R与r的乘积。
8. 对于△ABC的面积及内切圆半径的关系描述：
在△ABC中，a、b、c分别代表三边的长度，S代表三角形面积。内切圆的半径r可以通过公式r=2S/(a+b+c)计算得出。
9. 双曲线的性质描述：
双曲线意一点与两交点组成的三角形的内心在实轴上的射影表现为对应支的顶点。
10. 关于内切圆与△ABC边的关系：
在△ABC中，内切圆与AB、BC、CA相切于P、Q、R点。根据这一几何关系，我们可以得出AP等于AR，且等于(b+c-a)/2的一半；BP等于BQ，且等于(a+c-b)/2的一半；CR等于CQ，且等于(b+a-c)/2的一半。半径r还可以通过公式r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2计算得出。