圆柱的外形展开后，其轮廓呈现为一个规整的矩形。当圆柱的底面半径为r，母线长为l时，其底面的面积计算简单明了，即πr²。而圆柱的侧面面积则是2πrl的产物。整合圆柱的底面与侧面面积，我们得出其表面积公式为：
S = 2πr² + 2πrl = 2πr(r + l)
关于圆柱与圆锥的展开图，我们也有着清晰的认知。圆锥的侧面展开后，它是一个扇形。当圆锥的底面半径为r，母线长为l时，其表面积的算法与圆柱有着异曲同工之妙，即：
S = πr² + πrl = πr(r + l)
再来看圆台，其侧面展开图是一个别具一格的扇环。圆台的表面积是由上下两个底面的面积和侧面的面积累加而成，具体表达式为：
S = π(r'² + r² + r'l + rl)
在几何学中，柱体与锥体的体积计算有着固定的模式，那就是“柱体体积等于底面面积乘以高”，表示为V = S h。而对于锥体（如圆锥和棱锥），其体积是与其等底等高的柱体体积的三分之一。
至于台体，虽然形式较为复杂，但其体积计算亦有章可循。
当我们提及球的有关知识时，球的体积和表面积均是重要的几何量。设球的半径为R，其体积和表面积均是R的函数。
球的体积函数为...
球的表面积函数则为...
现在让我们来探讨一下祖暅原理。这一原理在几何学中有着重要的地位。“幂势既同，则积不容异”。这里的“幂”指的是面积，“势”指的是高。简单来说，祖暅原理告诉我们：如果两个几何体在平行平面上的任何截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积也必然相等。
基于祖暅原理，我们可以推导出等底等高的两个锥体的体积是相等的。设两个几何体有相同的底面积S和高h，且底面在同一平面内，根据祖暅原理，我们可以确认它们的体积是相等的。
根据所提供的图示，我们还可以发现三棱锥的体积正是其棱柱体积的三分之一。
回到半球的体积研究，如果我们取一个底面半径和高均为R的圆柱，然后从这个圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，我们会发现这个几何体与半球在水平面上截得的面积是相等的。再根据祖暅原理，这两个几何体的体积也是相等的。