你是否还记得调和级数？
这是一个我们常遇到的级数，是递减的，但其和却趋向于无穷大。但我们重点关注以下问题：
我们这里谈及的部分和，是指级数的前n项的和，具体为：
值得一提的是，其中涉及到了一个数学概念，即自然对数函数。当n增大时，部分和与ln(n)之间的差异逐渐趋近于一个定值。这个定值被称作欧拉-马斯克若尼常数，用γ（gamma）表示。
这个常数首次出现在1734年，得名于两位数学家欧拉和意大利的马斯克若尼。使用gamma这个符号可能是因为该常数与gamma函数（阶乘函数的延伸）有着紧密的联系。虽然它已存在近300年，但它是有理数还是无理数仍然是个谜。γ是代数性还是超越性的也尚未有定论。
那么，调和级数与对数函数之间有何关联呢？这正是本文要探讨的核心内容。接下来的分析将依赖于一些几何直觉，并可作为检验级数收敛的良好范例——积分检验法。
文章结构
为了更好地理解，本文分为四个部分进行阐述：
- 证明T_n的值域是有界的。
- 证明T_n是单调递减的，因此存在一个确定的极限，即γ（gamma）是实数。
关于T_n的有界性
我们为γ提供一个下限值。以下为y=1/x的图示。这里我们运用了一个技巧，即用单位宽度的矩形条来近似图下的面积，其高度等于函数在该点的值。
从上述情况可以看出：
通过进一步的推导：
在证明了T_n自下而上的有界性后，我们现在继续证明其自上而下的有界性。之前是矩形的面积主导了曲线下的面积。那么反过来呢？让我们进一步探讨。
T_n的单调递减性
接下来，我们将证明T_n是单调递减的，即：
证明过程如下：
回顾ln(x)的泰勒级数展开：
继续推导：
观察上述内容：
这意味着第一项以及上述求和中的每一项都是负数。由此得出：
T_n是单调递减的。
结合以上两个事实：
- T_n的值域是有界的。
- T_n是单调递减的。
利用单调收敛定理，我们可以确定T_n确实收敛于一个固定的极限值。也就是说，γ（gamma）是一个实数。
为γ提供更严格的下限
基于前面的分析，我们可以自信地提出：
但我们能否再精确一些呢？
如果我们用梯形来替代矩形呢？
由于y=1/x的凸性，梯形所覆盖的面积会比曲线所围成的面积更大。
经过推导：
现在由于：
因此我们得到：
我们已经将γ的下限从无提高到1/2左右：实际γ的值精确到小数点后五位是0.57721，与我们的下限非常接近。
关于级数收敛的额外信息
这一部分为辅助内容，这里我们将明确证明一个已经在前文中使用过的结果。
假设有两个级数：
那么它们之间的关系为：
证明如下：
首先让我们回顾一下级数收敛的定义。