在高等数学的教材中，存在一道关于麦克劳林公式的练习题，该题目标是精确计算lg11至10-5的位数。老黄在学习过程中发现，教材所提供的参考答案在严谨性上有所欠缺。为了弥补这一不足，老黄投入了大量的心血，并提出了一个名为“倒数更精确原理”的探究方法，同时他还研究了ln10的十万分位近似数。
在探究过程中，老黄遭遇了不少挑战。一些聪明的网友对他的“倒数更精确原理”进行了调侃和质疑，但这并没有动摇他对数学探究的热情。
接下来，老黄将首先介绍教材的解法，并指出其中不严谨的地方。然后，他将利用自己探究出的两个结果，使解法变得更加严谨。
运用麦克劳林逼近法精确lg11至10-5的解法如下：
我们将lg11转化为包含ln1.1的式子，即lg11=lgeln1.1。这是为了通过求解ln1.1的近似数来得到lg11的近似数。
我们知道麦克劳林公式中有一个常用的公式：ln(1+x)=x-x^2/2+……+(-1)^(n-1)x^n/n+(-1)^nx^(n+1)/((n+1)(1+θx))，其中(0<θ<1，x>-1)。
当x=0.1时，我们就可以利用上述公式求得ln1.1的近似值。为了保证计算结果的精度达到10-5，我们需要对公式中的项数n进行适当的选取。
经过计算，当取n=5时，我们可以得到lg11约等于1.04139。
这里有一个问题。我们使用的lge并不是一个已知的数值，它也需要通过麦克劳林公式来求取近似值。如果使用计算器来直接求取lg11，那么就没有必要这么复杂。但为了进一步探究和使用麦克劳林公式来求取lge，其过程将变得相当复杂和繁琐。
值得一提的是，由于在常用对数函数lgx的导函数中分母包含系数ln10，因此求得ln10的近似值对于这类问题至关重要。老黄在之前的探究中已经得到了ln10的近似值为2.30259，从而推导出lge的近似值为0.43429。
根据“倒数更精确原理”，由于ln10大于1，其倒数（即lge)的精确度反而更高。这一发现使得我们能够通过纯笔算的方式，精确计算出lg11至十万分位的近似数。