染色问题的策略解析
一、按颜色数分类处理
问题示例1：关于四棱锥S-ABCD的染色问题。当一个四棱锥的侧棱互不相等，且每个顶点染上一种颜色，同时要求同一条棱的两端点颜色不同，当使用5种颜色时，不同的染色方法有多少种？
解析：我们需要明白最少使用3种颜色来满足条件。具体地说：
1. 使用3种颜色时，先选择一种颜色染顶点S，再从剩下的4种颜色中选择两种染A、B、C、D的两对顶点，方法数为C51A42=60。
2. 使用4种颜色时，先选择一种颜色染S，再从剩下的4种中选择两种染A和B（注意A与B的颜色可交换），再从剩下的两种中选择一种染C或D，同时保证D与S颜色不同，方法数为C51A42C21C21。
3. 使用5种颜色时，全部排列方法为A55=120种。
综合以上情况，总的方法数为60+240+120=420种。
二、根据区域特性进行着色
问题示例2：城市中心广场的花圃分区种植问题。花圃分为6个部分，需种植4种不同颜色的花，且相邻部分不能种植同样颜色的花。
解析：首先对中心区域1着色，有4种选择。然后对环形区域进行着色，考虑颜色的同异与位置的交换，综合得出共有120种不同的着色方法。
三、通过图形变换简解题意
对于例2，我们也可以采用图形变换的方法简化问题。将环形区域展开成直线排列，问题转化为在直线上的空格中放置不同颜色的小球。这样问题就变得相对简单，可得到30种不同的放置方法。
四、运用递推关系求解
对于环形区域的染色问题，我们可以运用递推关系进行求解。设用m种颜色染n个环形区域的方法数为an。通过递推公式，我们可以得出m种颜色染环形n个区域且相邻区域不同色的方法数。例如，m色染5个环形区域的方法数为a5=(m-1)×(2m-3)×[a(n-1)]+(-1)n[(m-1)3-Am3]。
练习题：同室四人各自写贺年卡，每人从中拿一张非自己贺年卡的方法数。
解析：此问题可视为一个排列组合问题。四人各自拿非自己贺年卡的方法数等于四人全排列的数目减去自取的情况数。即4!-3!+2!-1=24-6+2-1=19种方法。