在历史的长河中，有一位杰出的科学家，他的名字是牛顿。他不仅是一位数学家，更是一位物理学家，我们熟知他创立了经典力学，同时还在微积分领域取得了划时代的成就。
在他的人生故事中，鲜为人知的是刻在墓碑上的那一个独特公式。这并非是那些与牛顿力学、微积分等我们所熟知的伟大发现。
公元1665年，当伦敦横行时，牛顿选择回到了乡间躲避疫病的侵扰。在这个远离喧嚣的时期，他有了令人惊叹的几个重大发现：二项式定理、光的分解、万有引力以及微分学。
墓碑上刻着的那个公式，正是他众多成就中最为引以为傲的象征。事实上，后来的微积分正是基于他的二项式理念逐渐发展起来的。
在我们学习的日子里，我们都遇到过一个被称为二项式的定理。在这二项式里，变量n被定义为一个正整数。
而牛顿二项式则是对这个二项式的进一步拓展。通过比较这两个式子，我们可以发现：第一个式子展开后是有限项的集合，而第二个式子则包含了无穷多的项。
其实第一个式子即使展开后看似为无穷项的展开形式，但其后多余的项系数皆为零。就像我们考察第n+2项，它就是一系列因子乘积与分母(n+1)的阶乘相除得到的。那么在此来看
经典二项式定理在特定条件下其实就是牛顿二项式的特殊情形。
虽然牛顿对这个定理做出了出色的猜想，但他的主要发现却未给出一个完整证明。
历史总是奇妙且耐人寻味的，因为在这个部分遗留下来的缺口后来被欧拉完善地补全了。依照欧拉的方法，我们可以尝试去证明这个定理。
当m被定义为有理数时，我们首先需要证明f(m)与f(n)的乘积等于f(m+n)。基于经典的二项式定理的规律，如果a和b都是正整数，它们的项的系数应当相等。
为了更好的理解和分析这个问题，我们必须研究f(a+b)展开后的第（k+1）项与f(a)和f(b)展开后x^k项的系数关系。
由于f(a+b)等于f(a)与f(b)的乘积，这种恒等关系表明了这个公式在各种情况下的一致性。本质上讲，牛顿二项式的拓展反映了这个恒等式在有理数中乃至实数、复数中都成立的事实。
我们在扩展数域的同时也确保了运算规则的适用性。无论是在整数、有理数、实数还是复数中，它们都遵循加法和乘法的交换律和结合律以及乘法分配律。
这个恒等式在整数集中成立的情况下，在有理数集中也必然是成立的。
那么接下来我们将利用这些结论进行进一步的推导和证明。首先考虑正有理数的情况。
当处理负有理数时，如果设p为负有理数，那么f(p)与f(-p)的乘积将等于f(0)，这意味着f(p)等于f(-p)的倒数。我们已经证明了正有理数满足牛顿二项式的规则，那么对于负有理数的情况也就显而易见了。