论及一元函数的连续性质：
若一元函数在某点的左右极限不相等，则该点不具备连续性。
接着探讨连续与可导的关联：
连续性并不意味着函数必然可导。
看这张图（图示已略）
该图展示了函数的连续性，然而由于左右导数的不对称性，致使函数不可导。
再谈可导与可微的关系：
当某点的导数存在时，该点的微分也必然存在，因此在一元函数中，可导性与可微性是一致的。
转向多元函数的分析则显得更为复杂。
这是多元函数连续、可导、可微关系的图示（图2）。图中提及的可导指的是偏导数的存在。
图中有四组相互关系，下面将逐一解析。
第一部分：关于函数连续与可导的关联
函数连续的定义在此不再赘述，详细内容可在《从导数的意义理解多元函数的偏导数存在性与连续性为何无关》一文中找到。简而言之，多元函数的连续性与可导性是相互独立的。
关于这一结论的缘由，记住以下两个图示即可（图3和图4）。
多元函数因趋近某点方向的任意性，可能出现不连续但在该点可导的情况。相反，连续的圆锥顶点在yoz截面可能没有导数。
第二部分：函数连续与可微的关联探讨
考察函数连续与可微的关系。
微分表达式的含义是在xoy平面上两点A、B无限趋近时，其曲面上两点的高度变化也趋近于0。这一结论证明了函数的连续性，从而得出“可微则必定连续”的结论。
全微分表达式如下（图5、图6略）
由上式可见，微分由偏导数表示，但需注意，函数连续与函数可导的独立性意味着...
函数连续并不意味着一定可微。
第三部分：可微与可导的关系深度解析
(图7略)
由于二元函数的方向性，导致...
函数可导并不意味着一定可微。
全微分一定可以由偏导数表示。若函数z=f(x，y)在某点可微，那么该点必然有偏导数，即...
函数可微则必定可导。
第四部分：偏导数连续性与可微性的关系
首先明确，函数可微仅说明该点偏导数存在，并不能保证偏导数的连续性。因此...
函数可微不代表偏导数必然连续。
(图8略)
上述证明过程涉及到偏导数的连续性。也就是说，若偏导数不连续，上述证明将不成立。函数可微要求其偏导数必须连续。
由此得出结论...
若函数某点的偏导数连续，则该点必然可微。
通过以上分析，要牢固把握图2中多元函数连续、可导、可微与偏导数连续之间的关系，需深入理解并掌握图1、图3、图4、图5、图6以及相关概念的含义。
1. 对于一元函数而言，可导必然意味着连续，但连续并不一定意味着可导。而一元函数的可导与可微在本质上是一致的。
2. 多元函数的复杂性主要源于其方向性，导致其连续、可导、可微之间存在多种关系。