向量不仅具备大小，还带有方向，恰如一个有向线段般存在。
因向量具有平移性，故在任何情况下，其起点均可视作坐标原点。
此原点可以是二维或三维的坐标系统起点，皆可适用。
在二维平面上，任意一个有向线段都能被视为两个预定的向量的线性组合，意味着它们可以被这两个预定的向量所分解。
若我们采用平面直角坐标系，那么任意有向线段都能进行正交分解。
如上图所示，若点A的坐标为（x，y），则其对应的向量可表达为：
这里的X轴、Y轴单位向量，它们的模长固定为1。
简而言之，向量OA可以看作是x轴方向上x倍的单位向量与y轴方向上y倍的单位向量的组合。使用点A的坐标(x，y)便能直接表示向量OA的大小与方向。
这便是向量的坐标表示法。
向量OA作为空间中的有向线段，在坐标系中自然可以通过坐标来呈现。有向线段的长度反映的是原点与A点之间的距离，其方向则由点的坐标决定。
既然向量能够以坐标形式表示，那么其计算过程也必然可以通过坐标来进行操作。
如图所示：
当向量OA与向量AD相加时，依据三角形法则，其结果为向量OD。
D点的坐标为（6，5），具体表现为：
若将向量AD平移至OD’的位置，此时向量OD’的坐标为（3，1）。
已知向量OA的坐标为（3，4），通过计算，
这与上述使用三角形法则得到的结果是一致的。也就是说，两个向量的相加操作，实际上就是将它们的坐标进行相加。
用数学公式表示即为：
同样地，向量的数乘操作只需将系数直接乘入即可。
两个向量的数量积是它们的对应坐标相乘后相加的结果：
这个值与集合运算的结果是等效的，即：
换言之，几何运算的结果与坐标运算的结果相互对应。这一对应关系常作为高中数学的考察点，通过坐标运算来评估两个向量在方向上的相似度。反过来，通过几何运算亦可得到夹角的余弦值，从而判断两个向量的夹角大小。
同一事物，两种表达方式，结果却保持一致。
这正是在“纯粹的几何”发展到“解析几何”后，为我们带来的巨大益处。
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