如何对算法进行分析呢？
想要深入理解算法的性能和效率，单纯地运行并比较两个解决相同问题的算法并不总是最理想的方法。面对这样的挑战，我们常常需要借助数学工具。虽然我们不能对尚未完全实现的程序使用运行比较法，但我们可以利用数学分析来了解程序性能的大致轮廓，并预测优化版本的有效性。
大多数算法都存在一个影响运行时间的主要参数N。以排序算法为例，N代表待排序元素的数量。我们的目标是用简单的数学公式，以N为变量来表达程序的运行效率。
理解函数的变化
当我们比较两个算法时，我们希望不仅仅说“一个算法比另一个快”，而是希望通过数学函数直观地感受二者的差异，确切地知道“一个算法比另一个快多少”。
在算法分析中，我们会遇到几种常见的函数：
1. 常量时间：如果程序中的大部分指令只运行一两次，与问题规模无关，那么我们说该程序运行时间是常量的。小奥的算法就是一个典型的例子。
2. 对数时间：当问题规模N增长时，如果程序运行时间增长较慢，可以认为其运行时间与一个大常数的对数成正比。例如，对于二分查找这样的算法，其运行时间通常以对数形式增长。在二进制系统中，我们通常以2为底数来计算对数（即lgN=log2(N)）。
3. 平方根时间：这种算法的运行时间会随着问题规模的翻倍而略微增加。在判断一个数是否为素数时，我们通常寻找的边界值就是这个数的平方根。
4. 线性时间：当问题规模增大M倍时，如果程序运行时间也增大M倍，这就是所谓的线性时间。像1到100的蛮力求和法就属于这种类型。
5. N log N时间：当问题规模翻倍时，如果运行时间比翻倍多一点，我们通常说程序运行的时间是N log N。这类算法常用于归并问题等场景。
6. 平方时间：如果问题规模翻倍，运行时间将增长4倍；当问题规模增长10倍时，运行时间则增长100倍。典型的算法如简单的冒泡排序。
7. 指数时间：如2^N的增长方式是真正令人担忧的。当N=10时，2^N的结果是1024；但当N翻倍后，结果将飙升至1048576。这种复杂度的算法通常不适用于实际问题。
这些函数的增长曲线如图所示。（图1的描述和展示需要相应地调整）
通过观察这些函数的增长曲线和具体的代码示例（如代码4-2所示），我们可以直观地理解算法的运行效率。在小规模问题时，算法的选择可能不那么重要；但随着问题规模的扩大，算法的优劣就会显著体现出来。选择正确的算法往往是解决问题的关键。
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