在数学的历史长河中，泰勒级数与傅立叶级数的发现堪称里程碑式的事件，它们的发展与数学家们对函数表示、逼近及解析的深入研究紧密相连。接下来，我们将分别概述这两种级数的发现背景及过程。
泰勒级数的发现
回溯至18世纪，布鲁克·泰勒的贡献尤为突出。泰勒的研究工作深受艾萨克·牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨微积分理论的影响。牛顿在研究物体运动及引力时所发展的差分法，为函数值的近似计算提供了一种手段。而莱布尼茨则进一步完善了微积分的符号体系，为后续数学研究提供了便利。
泰勒在探索函数的插值与逼近问题时，领悟到通过在函数某一点附近展开为无穷级数的方式，可近似表示函数。他发现若将函数表达为其导数在某点的值的幂级数形式，便能得到一个多项式。此多项式在原点附近与原函数高度吻合。这便是泰勒级数的雏形，它为使用多项式函数（简单函数）逼近复杂函数提供了一种有效方法。
傅立叶级数的发现
而在19世纪初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅立叶提出了傅立叶级数的概念。傅立叶的主要兴趣在于解决物理问题，特别是热传导问题。他在研究热如何在固体中传播时，遇到了一个需要解决的偏微分方程。
傅立叶洞察到，任意函数均可表示为正弦和余弦函数的和（即三角函数），这样可以简化热传导方程的求解过程。这是因为正弦和余弦函数是该偏微分方程的特征函数，它们在方程解中自然出现。傅立叶的这一发现不仅推动了热传导问题的解决，而且为后来的信号处理、声学、量子物理等领域奠定了基础。
综合观之
泰勒级数与傅立叶级数的发现，均体现了数学家们运用简单函数表示和理解复杂现象的努力。泰勒的研究是从数学分析的角度展开，而傅立叶则从物理问题的求解中得到启发。两者均极大地推动了数学和应用科学的发展，至今仍是数学和工程领域中不可或缺的工具。
若要深入了解其历史背景及数学思想，建议参阅《古今数学思想》等数学史著作，这些著作为我们提供了独特的视角，帮助我们理解这些数学工具是如何从实际问题中诞生并发展的。