考虑一个近似问题：假设存在一个函数f(x)，x ∈ [-1， 1]^p，其计算代价相当高。我们希望构建一个新的函数f'，这个函数的计算代价较低，并且能够在[-1， 1]^p上准确地近似f，同时尽可能减少对f的计算次数。
近似方法在统计和其他领域中有许多应用。例如，f可能表示一个概率密度函数，对其计算需要使用复杂的积分，而有效的近似方法可以提供计算其可信区间的机制。
接下来，将详细介绍两种强大的构建函数近似的技术：切比雪夫插值和自适应稀疏网格。
切比雪夫插值是近似的基本工具之一。当f具有一定的平滑性（如利普希茨连续）或为高阶可微、解析的函数时，切比雪夫插值能极快地收敛，这比其他技术如三次样条要优秀得多。具体来说，在利普希茨连续的情况下，f的切比雪夫插值将收敛。
为了更深入地理解切比雪夫插值，我们首先需了解利普希茨连续的概念。利普希茨连续是描述函数光滑程度的一种数学概念。简单来说，如果一个函数在整个定义域内满足某个固定的“最大变化速率”，那么这个函数就是利普希茨连续的。
将切比雪夫插值与自适应稀疏网格结合起来，可以提供一种高效的机制来近似高阶函数。在单维情况下，插值方法的选择尤为关键。虽然在高阶多项式插值时可能存在一些问题，但在切比雪夫节点上进行插值却展现出优良的收敛特性。
而在情况下，情况变得更加复杂。但通过使用如切比雪夫-高斯-洛巴托节点等更高效的嵌套点序列，我们可以构建更高效的插值方法。通过连续细化之间的差异，我们可以近似估计近似中的局部误差，并调整稀疏网格算法，仅在尚未达到所需目标精度的区域添加细化点。
以一个具体的例子来说明。考虑一个沿半圆x²+y²=0.3的脊线绘制的函数G(x)，其最大值为10。我们可以拟合一个稀疏网格来近似这个函数，并通过在函数的等高线图上叠加插值点来可视化构建的网格。可以看到算法自适应地在脊线周围的区域添加了更多的插值点。
至于其他问题，如切比雪夫节点上插值是否是近似光滑函数的最准确方法，答案是否定的。实际应用中，它们可能是最佳解决方案，因为更准确的算法往往不会带来太大的改进。而自适应稀疏网格虽然不能完全解决“维数灾难”问题，但在处理高维近似问题时仍是一种非常有效的工具。
关于数值问题的解决方案的三个级别：精确答案、第二级近似答案和第三级近似答案。在实际应用中，第二级解决方案的软件对于最终用户来说与获得第一级答案一样好。现代数值技术如高精度求积规则、稀疏网格和切比雪夫插值为我们提供了确定性的、高效的第二级解决方案，对于许多不适合精确解决方案的常见统计问题非常有用。
引用文献：
[1] Trefethen, Lloyd. (2011). Six myths of polynomial interpolation and quadrature. Mathematics Today. 47.
[2] 其他引用信息待补充...