我们耳熟能详的平均值不等式，尤其是指算术平均值始终不小于几何平均值这一观点，是高中数学中的一个基础知识点。当我们将此概念推广到更一般的n元情况时，其表达形式如下所述。
这四种平均值，从左至右依次为平方平均值、算术平均值、几何平均值以及调和平均值。二元情况的证明较为简单，但当我们扩展至n元情况时，我们会遇到包含三个不等式的式子。值得留意的是，这三个不等式中，中间和右侧的两个是对称的，我们主要的工作就是证明这两个不等式。
我们来证明左边的这个不等式。这不就是柯西不等式的应用吗？它的证明过程相对较为直接。而对于中间的不等式，我们则采用“添项法”来进行证明。
具体来说，我们将n项之后的项都设为A，构造出项数为2的幂的不等式。接下来，我们将从这个式子推导出中间不等式的成立。
如此一来，中间的不等式便得以证实。接下来，我们将对右边的不等式进行证明。这个不等式与中间的不等式具有对称性。我们只需进行简单的变量代换，即可得到与中间不等式相同的形式。
紧接着，我们将展开一场“降维打击”。此前，我们逐一证明了这三个不等式。但实际上，我们可以通过构造一个函数来对这三个不等式进行统一的证明。
当我们设定r值为2时，它代表了平方不等式；r值为1时，它代表了算术平均值；而r值为-1时，它代表了调和平均值。现在，我们还需要证明一个极限问题。
也就是说，这个函数在值为0时的极限就是几何平均值。现在我们将着手证明这个极限的正确性。
通过让函数在0处的值等于其极限，我们可以定义一个在实数域上连续的函数。只要我们知道这个函数在实数域上非严格单调递增，我们就可以证明最初的不等式了。
我们通过对该函数求导并证明其导函数恒大于等于0来进行上述证明。在这场“降维打击”中，我们可以看到最初提到的四个平均值实际上是此函数在特定点的取值。这个函数被称作“幂平均函数”，它是平均值的一个更通用的形式。
利用此函数，我们不仅可以再次证明原有的平均值不等式，还能推导出更多种类的平均值。