何为三角形？不在同一直线上的线段，当它们首尾相接时，所形成的图形便称为三角形。那么，任意长度的线段是否都能如此相连，形成三角形呢？答案并非完全肯定。只有满足一定条件的线段，才能顺利组成一个三角形。
通过探究，我们可以发现一个规律：在△ABC中，如果线段满足任意两边之和大于第三边的条件，即a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，那么这线段便能构成一个三角形。这一规律被广泛应用于判断线段是否能组成三角形的问题。
例题1：请判断下列哪组木条能组成三角形。
本题旨在考查三角形三边关系定理的应用。在判断过程中，我们无需列出所有三个不等式，只需比较两条较短线段之和与最长线段的大小关系即可。
例题2：现有a、b、c、d四根木条，长度分别为3cm、5cm、6cm和8cm。若从中取出三根木条组成三角形，请问能组成多少个不同的三角形？
解：经过组合，我们可以得到三个不同的三角形组合：3cm、5cm、6cm；3cm、6cm、8cm；以及5cm、6cm、8cm。这三种组合均满足三角形的三边关系定理。
在△ABC中，除了上述的任意两边之和大于第三边的规则外，还有任意两边之差小于第三边的规则，即a-b＜c等。这些规则有助于我们求取第三边的取值范围，并进行化简求值。
例题3：若△ABC的三边长分别为m-2、2m+1和8，求m的取值范围并探讨△ABC的周长当三边均为整数时的情况。
解：（1）根据三角形的三边关系，我们得到不等式组：2m+1-(m-2)＜8且2m+1+m-2＞8，解得3＜m＜5；
（2）由于△ABC的三边均为整数且3＜m＜5，所以唯一符合条件的整数m为4。△ABC的周长为3m+7=19。
例题4：先化简代数式|a-b-c|-|b-c+a|，再代入a=2、c=3时求值。
解：由于a、b、c为△ABC的三边长，所以a-b-c＜0且b-c+a＞0。代数式化简后为-a+b+c-（b-c+a），当a=2、c=3时，代入得值为2。
例题5：若一个三角形的三边长分别为a、b、c（其中a为最长边，c为最短边），且满足a-b＞b-c的条件（称这样的三角形为“不均衡三角形”），已知三边分别为2x+2、16和2x-6（x为整数），求x的值。
解：①由条件得两个不等式组合的解集为x＜3和x＞9的交集（去掉因矛盾的不解），经进一步推导得到无符合条件的解；
②经过详细推导后得到x的取值范围为9＜x＜11；
③综合所有情况后得到x的整数值为10或12或13或14。