对于一元二次方程，当判别式△存在时，其求根公式为特定公式；若两根存在且△≥0，则两根之间存在一定的关系，这种关系被称为韦达定理。韦达定理的逆定理同样成立。一元二次方程的根与系数之间关系紧密，综合性强，应用广泛。在数学学习过程中，除了应用韦达定理解答各类题目外，还常常需要记住一元二次方程根的判别式的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，再对式子进行因式分解。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根
**例1**：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根。问取什么整数值时，方程（1）有整数解？
分析：在满足方程（1）和（2）的条件下，筛选符合条件的整数值。
解：由于方程（1）有两个不相等的实数根，所以判别式△>0。结合方程（2）无实数根的条件，我们可以确定整数值的范围。进一步分析可得，使方程（1）有整数根的整数值。
二、判别一元二次方程两根的符号
**例2**：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：通过判定系数正负以及结合根的判别式△的值来判定根的符号。
解：根据题意，结合根的判别式△的值，可以确定方程的根为异号。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值
**例3**：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：可以通过两种解法来求解。一是直接将根代入原方程求解；二是利用韦达定理求解。
解法一：将根代入原方程求解；解法二：利用韦达定理得到根与系数的关系，进而求解。两种方法均可得到答案。说明部分需强调韦达定理在求解此类问题中的简便性。
【趁热打铁】部分的题目主要是关于一元二次方程的根的练习题，可以通过这些题目来巩固和应用所学知识。