一：线性方程组
1. 线性方程：
此处待插入图片描述。
2. 解的情况：
此处待插入图片描述。
3. 系数矩阵、增广矩阵：
系数矩阵为方程组对应的系数组成的矩阵。增广矩阵则是方程组对应的系数以及最后的常数组成的矩阵。
4. 求解线性方程组：
基本思想：通过初等行变换将系数矩阵转化为阶梯型或行简化阶梯型，从而求得解。
初等行变换：通过行交换、行倍乘、行相加等操作来改变矩阵的形式。
注：行变换是可逆的，因此对等价的矩阵来说，其具有相同的解集。
5. 结论：
求解线性方程组的主要过程就是利用初等行变换。
二：阶梯型及行简化阶梯型
任何非零矩阵都可以行化简为阶梯形矩阵，但用不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵；然而每个矩阵只能化为唯一的行简化阶梯型矩阵。
行化简算法五步法：前四步用于产生阶梯型矩阵，第五步用于产生行简化。
此处待插入具体例子说明。
三：线性方程组的解
求解步骤：首先判断线性方程组是否有解，然后根据是否有自由变量判断解的唯一性或无穷多解性。
通解的例子：此处待插入具体通解的描述。
四：向量空间与向量方程
1. 向量空间：满足对可加性和数乘封闭的性质。
2. 线性组合：此处待插入具体描述，如平行四边形法则和三角形法则可参考相关资源了解。
3. 向量方程与增广矩阵的关系：求解向量方程实质上是对其增广矩阵（即线性方程组）进行求解。
五：解的存在性与理解
1. 本质：矩阵方程Ax=b的由来实际上是向量方程或向量的线性组合，是线性代数的另一种表示形式。
2. 解的存在性理解：从矩阵方程、向量方程以及向量空间的角度来看，解的存在性与否可以通过判断b是否属于A的列向量的向量空间来理解。
六：齐次与非齐次线性方程组
1. 齐次线性方程组：此处待插入具体描述。
2. 非齐次线性方程组：考虑非齐次线性方程组时，主要关注其是否有多个解。首先考虑Ax=0的齐次情况，然后考虑Ax=b的非齐次情况。通解为一个向量加满足对应齐次方程组的通解。几何上，这可以理解为在原来过原点的直线基础上进行平移，因此可能有多个解。
七：相容方程组下的解集过程及判别
1. 相容方程组表示至少有一个解。对于线性方程组、矩阵方程、向量方程来说，其解都对应了无解、唯一解、无穷多解的情况。对于矩阵方程，无解的情况包括阶梯型矩阵下出现0=b（b不等于0）的情况以及矩阵的秩判别情况。有解时分为唯一解和无穷解，主要看行简化阶梯有无自由变量。
2. 概念与本质：定义域、值域等概念可参考相关资料。本质上是向量在矩阵的作用下变成另一个向量的过程。
3. 线性变换的性质与平移等操作可在此处进行具体描述。此处待补充具体内容。